古典概型与几何概型#

古典概型核心满足有限性与等可能性，考研高频题型涵盖摸球、抽签、分房三类典型场景，解题关键是精准区分有序与无序抽样，计算样本空间总数与事件包含的样本点数。当问题涉及“至少”“至多”时，优先使用对立事件转化简化计算，避免复杂的分类枚举。 几何概型核心满足无限性与等可能性，测度可对应长度、面积、体积或时间，考研常考察一维区间取点与二维平面区域取点两类题型，解题需先绘制样本空间与事件对应的区域，再通过测度比值计算概率，需注意边界点不影响最终概率结果。

概率的基本定义与性质#

基于公理化体系的三大性质（非负性、规范性、可列可加性）是所有概率计算的基础，考研中常考察的拓展性质包括：减法公式$P(A-B)=P(A)-P(AB)$、加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$、对立事件公式$P(\overline{A})=1-P(A)$，需熟练结合具体场景灵活应用。

离散与连续型随机变量的分布函数#

分布函数$F(x)=P(X\leq x),x\in\mathbb{R}$具备四大核心性质：单调不减、$0\leq F(x)\leq1$、$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$、$\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$且右连续。

• 离散型随机变量的分布函数为阶梯状分段函数，分段点为随机变量的所有可能取值，在分段点处左极限与右极限不相等；
• 连续型随机变量的分布函数为连续函数，可通过概率密度函数积分得到，即$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$。 考研中常考察利用分布函数求解概率、反求随机变量参数两类题型，需重点注意分段点的细节处理。

常见概率分布#

1. 离散型分布：0-1分布、二项分布$B(n,p)$、泊松分布$P(\lambda)$，其中二项分布的泊松近似适用于$n$较大、$p$较小且$\lambda=np$适中的场景；
2. 连续型分布：均匀分布$U(a,b)$、指数分布$E(\lambda)$、正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中指数分布具备无记忆性的特殊性质，正态分布的标准化变换$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$是考研高频考点，需熟练掌握标准正态分布表的查询方法。