一元积分学核心考点复盘#

1. 基本积分与运算规则：牢记11个基本初等函数的积分公式，掌握积分线性运算性质，明确不定积分与定积分的核心差异：不定积分结果为原函数族，需添加积分常数$C$，定积分结果为确定数值。
2. 换元积分法
   • 第一类换元法（凑微分法）：熟记常见凑微分形式，如$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$、$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$等，针对复合函数积分优先观察被积函数的导数结构，快速匹配凑微分方向。
   • 第二类换元法：针对含$\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$的根式积分，分别采用三角代换$x=a\sin t$、$x=a\tan t$、$x=a\sec t$，换元时必须同步更换积分上下限，避免后续计算出现低级错误。
3. 分部积分法：适用于两类不同类型函数的乘积积分，按照“反对幂指三”的优先级确定$u$和$dv$，牢记分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，多次分部积分时需注意循环抵消的特殊题型。
4. 变限积分：变限积分是关于上限（或下限）的函数，其求导公式为$\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt = f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$，当被积函数含求导变量$x$时，需先通过变量替换将$x$分离至积分号外再进行求导操作。
5. 反常积分
   • 无穷限反常积分：$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$，敛散性判别可通过比较判别法、极限形式比较判别法，熟记$p$积分$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$当$p>1$时收敛，$p\leq1$时发散。
   • 无界函数反常积分：针对奇点$c\in[a,b]$，需拆分积分区间分别计算极限，$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to c^-}\int_{a}^{t}f(x)dx+\lim_{s\to c^+}\int_{s}^{b}f(x)dx$，熟记$p$积分$\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx$当$p<1$时收敛，$p\geq1$时发散。