1. 方程根的存在性与唯一性问题#

考研中该题型主要分为两类考察方向：

• 存在性证明：优先使用闭区间上连续函数的零点定理，若条件满足则可直接得到存在至少一个实根；若无法直接使用零点定理，则可通过构造辅助函数，将原方程根的问题转化为辅助函数的导函数零点问题，利用罗尔定理证明存在性。
• 唯一性证明：通常结合函数单调性进行证明，通过求导判断函数在区间内的单调性，结合端点函数值的符号即可唯一确定根的个数。

典型例题：证明方程$x^3 - 3x +1=0$在区间$(0,1)$内有且仅有一个实根。先通过零点定理验证$f(0)=1>0,f(1)=-1<0$，得到存在性；再求导$f’(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$，在$(0,1)$内$f’(x)<0$，函数单调递减，故唯一。

2. 三大微分中值定理#

本次复习重点梳理了三个定理的关联与区别：

• 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（当$f(a)=f(b)$时），而柯西中值定理则是拉格朗日中值定理的推广（引入两个独立函数）。
• 考研高频考点包括：单中值点证明、多中值点证明、结合导数符号的证明题。其中构造辅助函数是核心技巧，比如要证明$f’(\xi)+f(\xi)g’(\xi)=0$，可构造$F(x)=e^{g(x)}f(x)$，利用罗尔定理即可得证。
• 本次复习中重点纠正了自己之前的误区：柯西中值定理要求$g’(x)≠0$且$g(a)≠g(b)$，这一条件在解题时极易被忽略。

3. 不等式证明#

常用解题方法按优先级排序：

1. 单调性法：构造辅助函数$F(x)=f(x)-g(x)$，通过求导判断$F(x)$在区间内的符号，结合端点值即可证明不等式，是最基础也是最常用的方法；
2. 微分中值定理法：当不等式中出现$f(b)-f(a)$形式时，可利用拉格朗日中值定理将其转化为$f’(\xi)(b-a)$，再通过估计$f’(\xi)$的范围完成证明；
3. 凹凸性法：利用二阶导数的符号判断函数凹凸性，结合凹凸性的定义完成证明；
4. 极值最值法：当不等式涉及区间内的最值时，通过求函数的极值最值完成证明。

易错点：在构造辅助函数时，忘记考虑区间端点的函数值是否满足要求，导致推导出现漏洞。