核心知识点复盘#

1. 联合概率密度的性质：二维连续型随机变量$(X,Y)$的联合密度$f(x,y)$满足$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy=1$，这是考研中高频的求参数题型，常结合分段密度函数考察积分计算；
2. 边缘概率密度：$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，需注意仅在$x$的有效取值区间内积分，其余区间$f_X(x)=0$，同理$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$；
3. 条件概率密度：当$f_Y(y)>0$时，$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，需明确条件密度的定义域为$y$的有效取值区间；
4. 二维随机变量的概率计算：$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)dxdy$，解题关键是准确画出$D$与$f(x,y)$有效区域的交集，确定正确的积分上下限；
5. 独立性判断：$X$与$Y$相互独立的充要条件为$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$在$\mathbb{R}^2$上几乎处处成立，需验证全区域的等式成立，而非局部区间。

考研考向补充#

该模块是数一、数三概率论与数理统计的核心考点，常以填空题、解答题形式出现，2024年数三解答题第22题即考察了二维连续型随机变量的边缘密度与独立性判断，整体分值占比约6-10分。