一、核心概念铺垫#

二维连续型随机变量的函数$Z=g(X,Y)$的概率分布求解，是考研数学概率统计模块的高频考点，尤其以$Z=X+Y$的题型最为常见，主要分为两类核心解法：

1. 分布函数法（通用解法） 步骤逻辑： ① 先求解Z的分布函数 $F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(g(X,Y) \leq z) = \iint_{g(x,y)\leq z} f(x,y)dxdy$，其中$f(x,y)$为$(X,Y)$的联合概率密度； ② 根据联合密度$f(x,y)$的非零区域，结合$g(x,y)\leq z$的不等式，确定二重积分的积分范围，分情况讨论z的取值区间； ③ 对分布函数$F_Z(z)$关于z求导，即可得到概率密度$f_Z(z) = F_Z'(z)$。 考研常考场景：当$g(X,Y)=X+Y$时，积分区域为$x+y\leq z$，需要根据$f(x,y)$的非零定义域（如$x\geq0,y\geq0$、$a\leq x\leq b,c\leq y\leq d$等）划分z的不同区间，精准确定x的积分上下限。
2. 卷积法（专属解法） 仅适用于X与Y相互独立的二维连续型随机变量之和$Z=X+Y$的场景，核心公式为： $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy$ 其中$f_X(x),f_Y(y)$分别为X和Y的边缘概率密度。 求解要点：需要根据$f_X(x)$和$f_Y(y)$的非零区域，确定积分变量x的有效范围，即$\begin{cases}x \in D_x \\ z-x \in D_y \end{cases}$，从而缩积分区间，简化计算。比如当X,Y均服从$[0,1]$上的均匀分布时，积分区间仅为$\max(0,z-1)\leq x\leq \min(1,z)$。

二、两种方法的对比与选择#

三、考研真题关联#

以2024年数学一第14题为例，该题考查了独立正态分布之和的卷积公式应用，若能熟练掌握卷积法的积分区间划分，可以快速得到结果，相比分布函数法节省近5分钟的解题时间。