一、高数一元积分学计算复盘#

考研数学中一元积分学是高数核心考点之一，涵盖不定积分、定积分、变限积分与反常积分四大板块：

1. 核心计算方法：常考换元积分法（三角换元、倒代换、根式代换）与分部积分法，针对$\int e^x\sin x dx$这类典型题型需要熟练掌握分部积分的循环技巧；
2. 分段函数积分：需先拆分积分区间，在分段点处分别计算积分后再合并，同时注意变限积分的被积函数分段时，需根据上限所在区间确定积分分段方式；
3. 反常积分：重点掌握$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$的敛散性判据，结合极限计算反常积分的收敛性与数值。

二、概率论核心知识点复盘#

1. 随机变量数字特征 考研中常考期望、方差、协方差、相关系数的计算与性质，重点包括：
   • 期望的线性性质不受随机变量独立性限制，而协方差$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$仅在独立时满足$E(XY)=E(X)E(Y)$；
   • 方差的计算公式$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$是高频考点，尤其针对连续型随机变量的积分计算容易出错。
2. 切比雪夫不等式 公式为$\boldsymbol{P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}}$，考研常考两类题型：一是已知期望与方差，估计随机变量落在某个区间外的概率上界；二是结合大数定律证明概率不等式，使用前提是随机变量$X$存在期望与方差。
3. 依概率收敛 定义为：对于任意$\varepsilon>0$，$\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon)=0$，考研中主要以概念辨析题形式出现，需区分依概率收敛与数列收敛、几乎处处收敛的差异。
4. 大数定律 考研重点考查三大定律的适用条件：
   • 切比雪夫大数定律：独立随机变量序列，且存在常数$C$使得$D(X_i) \leq C$对所有$i$成立，则$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) \xrightarrow{P} 0$；
   • 辛钦大数定律：独立同分布随机变量序列，且$E(X_i)=\mu$存在，则$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu$；
   • 伯努利大数定律：$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数为$\mu_n$，则$\frac{\mu_n}{n} \xrightarrow{P} p=P(A)$，是辛钦大数定律的特例。
5. 中心极限定理 考研核心考查两个定理的应用：
   • 林德伯格-列维中心极限定理：独立同分布随机变量序列，$E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2>0$，则$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{d} N(0,1)$，可用于近似计算大量独立同分布随机变量和的概率；
   • 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：二项分布$Y_n \sim B(n,p)$，则$\frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)$，是二项分布的正态近似，也是考研概率大题的高频考点。