1. 极大似然估计#

考研数一的高频考点，核心思路是通过样本观测值反推最可能产生该样本的参数值。解题步骤分为三步： ① 构造似然函数：离散型总体写出联合分布律，连续型总体写出联合概率密度； ② 取对数似然函数，简化求导运算； ③ 对参数求导并令导数为0，求解临界点，若临界点在参数定义域内则为极大似然估计量，若临界点不在定义域内则取定义域边界作为估计量。 常考分布包括正态分布、泊松分布、指数分布，需牢记对应分布的似然函数简化技巧，比如指数分布的似然函数取对数后为线性形式，直接通过边界点求解。

2. 参数估计总览#

参数估计分为点估计与区间估计两类：

• 点估计除极大似然估计外，还包括矩估计，核心是用样本矩替换总体矩，比如用样本均值替换总体期望，用样本二阶中心矩替换总体方差，需注意矩估计可能存在多解的情况。
• 区间估计则是通过样本构造包含未知参数的置信区间，核心是选取合适的枢轴量，根据枢轴量的分布确定置信区间的形式。

3. 置信区间#

考研中主要考察单个正态总体、两个正态总体的参数置信区间：

• 单个正态总体：已知方差时用标准正态分布枢轴量，未知方差时用t分布枢轴量；方差的置信区间使用卡方分布枢轴量。
• 两个正态总体：均值差的置信区间需区分方差是否相等，方差比的置信区间使用F分布枢轴量。 需注意置信区间的置信水平为1-α，对应的上分位点为α/2分位点，避免误用单侧分位点。

4. 上分位点#

上分位点的核心定义为：对于随机变量X~F(·)，若存在实数z_α满足P(X>z_α)=α，则z_α为分布F的上α分位点。常见分布的上分位点符号需牢记：标准正态分布记为z_α，t分布记为t_α(n)，卡方分布记为χ²_α(n)，F分布记为F_α(n1,n2)，做题时需根据枢轴量的分布准确选取对应分位点。