1. 极值点与拐点#

考研中常以选择、填空形式考察判定规则：极值点的第一充分条件为“函数在该点邻域内一阶导数左右变号”，第二充分条件为“一阶导数为0且二阶导数不为0”；拐点的充分条件为“二阶导数在该点邻域内变号，或二阶导数为0且三阶导数不为0”，需注意隐函数、参数方程的极值拐点判定需结合对应的求导规则。

2. 渐近线#

分为三类：水平渐近线需满足$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = C$（$C$为常数），需分别计算$x \to +\infty$和$x \to -\infty$的极限；垂直渐近线需满足函数在该点无定义且$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，可去间断点不属于垂直渐近线；斜渐近线需计算$a=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$（$a \neq 0$），再计算$b=\lim_{x \to \pm\infty} (f(x)-ax)$，同样需区分单侧极限。

3. 高阶求导#

核心技巧包括莱布尼茨公式$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$，以及常见函数的$n$阶导数公式：$e^{ax}$的$n$阶导数为$a^n e^{ax}$，$\sin(bx)$的$n$阶导数为$b^n \sin(bx+\frac{n\pi}{2})$，$\ln(1+x)$的$n$阶导数为$(-1)^{n-1}(n-1)! (1+x)^{-n}$。此外需掌握隐函数、参数方程的高阶求导步骤。

4. 曲率#

考研中多为直接公式应用题型，曲率公式为$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，曲率半径$R=\frac{1}{K}$，需注意参数方程下的曲率公式推导，结合导数的参数形式代入计算即可。

5. 中值定理#

是考研数学解答题的必考题型，核心包括罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒中值定理：

• 罗尔定理用于证明存在一点使得导数为0，常需构造辅助函数；
• 拉格朗日中值定理用于证明单中值的等式或不等式，核心是找到区间端点的函数值差与导数的关系；
• 柯西中值定理用于涉及两个函数的中值问题；
• 泰勒中值定理常用于高阶导数或函数值的估计，常见带佩亚诺余项和拉格朗日余项的两种形式。 辅助函数构造常用移项法、积分法、常数$k$值法，需结合具体题型灵活应用。