（1）基础性质#

• 对$m\times n$矩阵$A$，恒有$0 \leq r(A) \leq \min\{m,n\}$；
• 若$A$为可逆方阵，则$r(AB)=r(B)$、$r(BA)=r(B)$，可逆矩阵也被称为满秩矩阵；
• 伴随矩阵$A^*$的秩分级结论：$r(A^*)=n \iff r(A)=n$，$r(A^*)=1 \iff r(A)=n-1$，$r(A^*)=0 \iff r(A)<n-1$，为考研选择题高频考点。

（2）考研高频不等式#

1. $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$，可通过向量组极大无关组的包含关系证明；
2. $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，当$A$或$B$可逆时等号成立；
3. 西尔维斯特不等式：$r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$（$n$为$A$的列数，即$B$的行数），为考研解答题常见证明背景；
4. 若$AB=O$，则$r(A)+r(B) \leq n$，是线性方程组解的结构核心推导依据。