一、数项级数核心考点复盘#

1. 分类与敛散性逻辑：数项级数分为正项级数（通项≥0）、交错级数（通项正负交替）、任意项级数三类。其中正项级数的敛散性判别是考研高频考点，常用判别法按优先级排序：
   • 极限形式的比较判别法：适用于能找到等价无穷小的通项，通过与已知敛散性的p级数、等比级数对比判断；
   • 比值判别法：适用于通项含有$n!$、$a^n$的级数，通过计算$\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$判断；
   • 根值判别法：适用于通项含有$n^n$的级数，通过计算$\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}$判断。
2. 交错级数与任意项级数：交错级数优先使用莱布尼茨判别法，需同时满足$\lim_{n \to \infty}a_n=0$和$\{a_n\}$单调递减；任意项级数需先判断绝对收敛（$\sum|a_n|$收敛），再判断条件收敛（$\sum|a_n|$发散但原级数收敛）。

二、幂级数核心考点复盘#

1. 收敛半径与收敛域：对于幂级数$\sum a_n x^n$，收敛半径$R=\lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$（比值法）或$R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty}|a_n|^{\frac{1}{n}}}$（根值法），再单独代入$x=\pm R$判断端点敛散性，最终得到完整收敛域。
2. 逐项运算性质：幂级数在收敛区间内可逐项求导、逐项积分，收敛半径不变，但收敛域可能变化（端点处的敛散性需重新验证）。
3. 和函数求解与函数展开：常用已知展开式包括$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n(|x|<1)$、$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$、$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$等，通过变形、逐项求导/积分将目标函数转化为已知展开式的形式完成求解或展开。

三、傅里叶级数基础回顾#

考研中傅里叶级数多以客观题形式考查，核心为狄利克雷收敛定理：周期为$2l$的函数$f(x)$在$[-l,l]$上满足至多有限个间断点且单调有界，则其傅里叶级数在连续点处收敛于$f(x)$，在间断点处收敛于$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$。奇偶函数可简化为正弦级数（奇函数）或余弦级数（偶函数），无需计算非对应项的系数。