数项级数模块复盘#

考研数学中数项级数的核心考察方向为敛散性判别，分为正项级数、交错级数、任意项级数三类：

1. 正项级数优先使用比值判别法、根值判别法（适用于含$n!$、$n^n$的题型），或比较判别法的极限形式，需熟记$p$级数、等比级数等基准级数的敛散性；
2. 交错级数必须先验证通项极限为0，再使用莱布尼茨判别法，同时需先判断原级数是否绝对收敛，若不绝对收敛再验证交错级数是否条件收敛；
3. 抽象级数敛散性证明可结合级数收敛的必要条件、比较判别法、绝对值不等式放缩等方法，需先明确已知条件再推导结论。

幂级数模块复盘#

幂级数是考研数学的高频解答题考点，核心要点包括：

1. 收敛半径计算：对标准幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，使用$\rho=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$或$\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$（$\rho=0$时$R=+\infty$，$\rho=+\infty$时$R=0$）；
2. 收敛域求解需在得到开区间后，单独验证端点处的级数敛散性，这是高频失分点；
3. 幂级数和函数求解需依托常见泰勒展开式，通过逐项求导、逐项积分、变量替换等方式将复杂幂级数转化为标准形式，再还原得到和函数；
4. 逐项求导或积分后，幂级数的收敛半径不变，但端点敛散性可能发生变化，需重新验证。

傅里叶级数模块复盘#

傅里叶级数多以选择题或小型解答题出现，核心为狄利克雷收敛定理，以及周期为$2l$的傅里叶级数系数计算公式，奇偶函数可简化为正弦级数或余弦级数，降低计算量。

结合今日刷题情况，多数错题集中在收敛域端点验证与交错级数前置条件遗漏，后续需针对性强化这两类细节的练习。