1. 傅里叶级数核心基础#

考研数学（数一）中主要考察周期为$2\pi$的函数的傅里叶级数，标准展开形式为： $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$ 其中系数计算公式为： $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx \quad (n=0,1,2,\dots)$ $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx \quad (n=1,2,\dots)$ 需注意$a_0$的特殊形式：$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx$（针对$[0,\pi]$区间的延拓函数），以及三角函数系在$[-\pi,\pi]$上的正交性是系数计算的核心依据。

2. 狄利克雷收敛定理#

考研中必须熟练掌握该定理的适用条件和收敛值规则： ① 函数在一个周期内仅存在有限个第一类间断点和有限个极值点且绝对可积； ② 收敛值判断：连续点处和函数等于原函数值，间断点处为左右极限的平均值，区间端点处为周期两端左右极限的平均值。

3. 延拓与指定级数展开#

4. 考研高频考点：利用傅里叶级数求数项级数和#

通过构造合适的傅里叶级数，代入$x=0、x=\frac{\pi}{2}$等特殊点，可快速求解$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}、\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$等经典数项级数的和，是数一历年真题的高频题型。