1. 二次型的基础与矩阵表示#

n元二次型是关于$x_1,x_2,\dots,x_n$的二次齐次多项式，标准形式为$f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}=a_{ji}$，对应的对称矩阵为$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，需注意：当$i\neq j$时，$a_{ij}=a_{ji}=\frac{1}{2}\times$原交叉项系数，这是考研最常考的易错点。

2. 二次型的标准形与规范形#

3. 合同与相似辨析#

• 合同：存在可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$合同，实对称矩阵合同的充要条件是正负惯性指数完全一致。
• 相似：存在可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，实对称矩阵相似的充要条件是特征值完全相同（含重数）。

注意：正交相似同时满足相似和合同，但一般相似与合同互不蕴含。

4. 正定二次型与正定矩阵#

对于实二次型$f=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，若对任意非零$\boldsymbol{x}$都有$f>0$，则$f$为正定二次型，$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。考研常考判定规则：

1. 充要条件：所有顺序主子式大于0；所有特征值大于0；正惯性指数等于$n$；存在可逆矩阵$\boldsymbol{C}$使得$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{C}$
2. 必要条件：$\boldsymbol{A}$的主对角线元素全大于0，可用于快速排除错误选项。