1. 古典概型#

古典概型是考研概率论的基础入门考点，核心特征为有限性与等可能性，计算公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$为样本空间总样本点数，$m$为事件$A$包含的样本点数。考研常考题型包括摸球问题、抽签问题、排队占位问题，需重点注意放回抽样与不放回抽样的计数差异，例如无放回摸球的概率计算需用组合数，而放回抽样需用乘法原理计算总样本数。

2. 排列与组合#

排列与组合是古典概型计数的核心工具：

• 排列：针对有序问题，从$n$个不同元素中取出$k$个的排列数为$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$，适用于排队、分配不同物品等场景；
• 组合：针对无序问题，从$n$个不同元素中取出$k$个的组合数为$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，适用于分组、摸球不考虑顺序等场景。 考研易错点在于复杂分堆问题，例如将$n$个元素分为$k$组且组间无顺序时，需除以组的排列数避免重复计数。

3. 条件概率#

条件概率的定义为$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$（$P(B)>0$），核心是样本空间缩小至事件$B$发生的范围，需与联合概率$P(AB)$明确区分。考研常结合独立事件考察，若事件$A$与$B$独立，则$P(A|B)=P(A)$，即$B$的发生不影响$A$的概率，这一性质是后续贝叶斯公式与全概率公式的基础。

4. 全概率公式与贝叶斯公式#

全概率公式用于计算复杂事件$A$的概率，核心是将样本空间划分为一组两两互斥且覆盖全部样本空间的完备事件组$\{B_i\}_{i=1}^n$，则$P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)$。考研常考的应用场景包括多批次产品抽样、疾病检测的先验概率计算等。 贝叶斯公式是全概率公式的变形，用于计算后验概率：$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$，常考察已知结果反推原因的场景，例如已知检测结果为阳性，求实际患病的概率。