核心知识点梳理#

1. 基本定义：若方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$与$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}$的解集完全一致，则称二者同解。
2. 齐次方程组同解的充要条件：对于$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，二者同解当且仅当：
   • ① $r(A)=r(B)$（解空间维度一致）；
   • ② $A$的行向量组与$B$的行向量组等价（即$A$的每个行向量都是$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解，$B$的每个行向量都是$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的解）。

   易错提醒：仅$r(A)=r(B)$无法推出同解，例如$A=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}$，二者秩均为1，但解空间完全不同。

3. 非齐次方程组同解的充要条件：对于$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$与$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}$，二者同解当且仅当：
   • ① $r(A)=r([A|\boldsymbol{b}])=r(B)=r([B|\boldsymbol{d}])$（两个方程组均有解，且系数矩阵秩一致）；
   • ② 齐次部分$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解；
   • ③ 存在$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$的一个特解$\boldsymbol{\eta}$，使得$B\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{d}$（即特解满足对应齐次方程组同解的要求）。
4. 考研常考题型：
   • 已知两组方程组同解，求解参数；
   • 证明两个抽象/具体方程组同解；
   • 求解两个方程组的公共解。

今日复盘巩固#

今天通过例题验证了秩相等与同解的区别，例如非齐次方程组$\begin{cases}x_1+x_2=1\\2x_1+3x_2=4\end{cases}$与$\begin{cases}ax_1+bx_2=1\\4x_1+5x_2=11\end{cases}$同解，可通过代入特解$(1,0)$和$( -2,3 )$求解$a,b$，后续需加强这类参数题的练习熟练度。