线性代数板块：二次型与正定矩阵#

考研中二次型正定是高频考点，核心需掌握三类判别方法：①定义法：对任意非零实向量$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$，均有$\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} > 0$，则二次型$f=\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}$为正定二次型，对应矩阵$A$为正定矩阵；②特征值法：实对称矩阵$A$的所有特征值均大于0；③顺序主子式法：$A$的各阶顺序主子式全部大于0。需注意半正定二次型的特征值非负且存在零特征值，顺序主子式仅需非负，切勿与正定条件混淆。此外合同变换不改变二次型的正定性，也是常考的延伸考点。

概率论板块：数字特征与常见分布#

本次复习的数字特征核心为期望与方差，需梳理清晰三类场景的公式：

1. 一维随机变量：离散型$E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} x_i P(X=x_i)$，连续型$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$；方差$D(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2$。
2. 二维随机变量：期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,y) dxdy$，$E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f(x,y) dxdy$；协方差$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，方差拓展为$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\text{Cov}(X,Y)$，独立随机变量的协方差为0，方差可直接相加。
3. 常见分布推导：泊松分布$P(\lambda)$、二项分布$B(n,p)$、几何分布的期望方差需熟练推导，其中几何分布需注意两种定义下的结果差异，考研多考察首次成功的试验次数版本，即$E(X)=\frac{1}{p}, D(X)=\frac{1-p}{p^2}$。

高数板块：空间几何与三重积分#

1. 点到直线的空间距离：设直线$L$过点$M_0$，方向向量为$\boldsymbol{s}$，空间内任意点$M$到$L$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{M_0M} \times \boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{s}|}$，本质是利用叉乘的几何意义——平行四边形面积除以底边长得到高，即两点到直线的垂直距离。
2. 截面法求三重积分：又称先一后二法，步骤为固定积分变量$z$，确定$z$的取值范围$[z_1,z_2]$，再求出每个$z$对应的截面区域$D_z$，将三重积分转化为$\int_{z_1}^{z_2} \left( \iint_{D_z} f(x,y,z) dxdy \right) dz$，该方法在对称区域（如椭球、圆柱区域）的积分中尤为高效。