核心考点复盘#

1. 等价无穷小替换：考研数学高频考点，仅在乘除运算中可直接替换等价无穷小，加减运算需满足替换后的余项为更高阶无穷小，不影响整体极限结果。例如当$x\to0$时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}=-\frac{1}{6}$，若直接替换$\sin x\sim x$会得到错误结果0，需通过泰勒展开或洛必达法则求解。
2. 分段函数的极限与连续：分段点处的极限需分别计算左极限$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与右极限$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，二者相等时极限才存在；连续的充要条件为极限值等于该点函数值，间断点需按第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷、振荡）进行分类判定。
3. 极限存在准则：
   • 夹逼准则：多用于求解$n$项和的极限，如形如$\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k}$的求和式，通过放缩确定上下界后求极限；
   • 单调有界准则：多用于递推数列$x_{n+1}=f(x_n)$的极限求解，需先证明数列单调且有界，再对递推式两边取极限求解$A=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。
4. 基础极限公式：需牢记$x\to0$时的11组常用等价无穷小，以及重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$、$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$的变形应用。 本次复盘重点纠正了前期等价无穷小滥用的错题，明确了加减运算的替换限制，后续需通过专项刷题强化记忆。