一维离散型随机变量复盘#

1. 核心定义：若随机变量X的所有可能取值为有限个或可列无限个，则称X为一维离散型随机变量，其分布律满足$P\{X=x_k\}=p_k, k=1,2,\cdots$，且必须满足非负性$p_k\geq0$与归一性$\sum_{k=1}^{\infty}p_k=1$。
2. 分布函数转化：$F(x)=P\{X\leq x\}=\sum_{x_k\leq x}p_k$，是分段常数的阶梯函数，在$x=x_k$处的跳跃高度为$p_k$，考研中常考由分布律求分布函数、由分布函数反推分布律的题型。
3. 高频考向：0-1分布、二项分布、泊松分布的参数含义与应用场景，以及利用分布律计算指定区间概率、期望$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k$与方差$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。

一维连续型随机变量复盘#

1. 核心定义：若存在非负可积函数$f(x)$，使得随机变量X的分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$，则称X为一维连续型随机变量，$f(x)$为其概率密度函数。
2. 核心性质：非负性$f(x)\geq0$、归一性$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，考研中常利用归一性求解密度函数中的未知参数；在$f(x)$的连续点处，$F'(x)=f(x)$，可实现分布函数与密度函数的互推。
3. 高频考向：均匀分布$U(a,b)$、指数分布$E(\lambda)$的密度函数与分布函数、参数意义，计算区间概率$P\{a<X\leq b\}=\int_a^b f(x)dx$，以及期望、方差的标准化计算。

两类变量对比#

离散型通过求和实现概率与期望计算，分布函数为阶梯状；连续型通过积分实现，分布函数为连续函数，考研中常结合两种类型的差异设置综合题型，需注意两种计算逻辑的切换。