核心概念梳理#

1. 总体与样本：研究对象的全体称为总体，每个独立研究对象为个体，从总体中抽取的部分个体称为样本，样本中所含个体的数量为样本容量$n$。满足独立性与同分布的样本为简单随机样本，可完整反映总体的分布特征。
2. 常见统计量：不含任何未知参数的样本函数称为统计量，考研高频统计量包括：
   • 样本均值：$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，反映样本的集中趋势
   • 样本方差：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$（无偏估计），$S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$（有偏估计）
   • 样本$k$阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$，样本$k$阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k$

三大抽样分布复盘#

三大抽样分布均由标准正态分布推导而来，是数理统计推断的核心工具：

1. $\chi^2$分布：设$X_1,X_2,\dots,X_n$独立同分布于$N(0,1)$，则$\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为$n$。性质：可加性$\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2)=\chi^2(n_1+n_2)$，期望$E(\chi^2(n))=n$，方差$D(\chi^2(n))=2n$，考研中常用于构造方差相关的统计量。
2. t分布：设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$且$X$与$Y$独立，则$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$，自由度为$n$。图像关于$y$轴对称，当$n>30$时近似于标准正态分布，常用于未知总体方差时对均值的推断。
3. F分布：设$U\sim \chi^2(m)$，$V\sim \chi^2(n)$且$U、V$独立，则$F=\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$，自由度为$(m,n)$。重要性质：$F_{1-\alpha}(m,n)=\frac{1}{F_\alpha(n,m)}$，常用于方差齐性检验等场景。

正态总体抽样定理（考研核心考点）#

1. 单个正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$：
   • 样本均值$\bar{X} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
   • $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且$\bar{X}$与$S^2$相互独立
   • 当$\sigma$未知时，$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
2. 两个独立正态总体$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2), Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$：
   • 若$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$，则$\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1+n_2-2)$，其中$S_w=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$为合并样本方差。