1. 数理统计核心基础概念复盘#

考研中高频考察的核心定义：总体是研究对象的某项数量指标的全体，通常记为随机变量$X$；样本是从总体中抽取的独立同分布的随机变量$X_1,X_2,\dots,X_n$；统计量是不含未知参数的样本函数，常见统计量包括样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$、样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$等，需注意样本方差分母为$n-1$的自由度修正细节。

2. 三大抽样分布专项复盘#

• 卡方分布：若$X_1,\dots,X_n$独立同分布于标准正态分布，则$\sum_{i=1}^nX_i^2\sim\chi^2(n)$，考研常考其可加性、期望为$n$、方差为$2n$，常用于正态总体方差的区间估计与假设检验；
• t分布：若$X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$且独立，则$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$，考研常考其对称性、分位数的互补性质，常用于正态总体均值的区间估计；
• F分布：若$U\sim\chi^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2)$且独立，则$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$，常考其倒数性质，用于两个正态总体方差比的区间估计。

3. 参数估计板块复盘#

• 矩估计：核心为替换原理，用样本矩代替总体矩，对于单参数$\theta$，令$E(X)=\bar{X}$求解即可；多参数则联立对应阶数的样本矩与总体矩方程组求解；
• 最大似然估计：先构造似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)$，取对数转化为便于求导的对数似然$lnL(\theta)$，通过求导找极值点，需特别注意参数的定义域限制，当参数存在取值范围时，需单独验证边界点的似然函数值。