线性代数向量组模块#

1. 极大无关组与向量组秩 极大线性无关组（大无关组）是向量组的核心概念，其定义包含两个要点：一是该部分组自身线性无关，二是向量组中任意剩余向量都可以和该部分组构成线性相关组。一个向量组的极大无关组可能不唯一，但所有极大无关组所含向量个数相同，这个数值就是向量组的秩，也是考研线性代数的必考考点，常结合矩阵秩、线性方程组求解进行考察。
2. 部分组与整体组的相关性规则 这是考研选择题的高频陷阱点：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组必线性相关（即用户提到的“小相关，整体相关”）；其逆否命题为：若整个向量组线性无关，则其任意一个部分组都线性无关，这个逆否命题经常被反向考察，比如给出“整体组无关”的条件，判断部分组的相关性。
3. 向量组分量增减的相关性性质 该性质可以通过线性相关性的定义严格证明：
   • 设$n$维向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$线性无关，给每个向量添加$m$个分量得到$n+m$维向量组$\beta_1,\dots,\beta_s$，则新向量组仍线性无关；
   • 若$n+m$维向量组$\beta_1,\dots,\beta_s$线性相关，则给每个向量去掉$m$个分量得到$n$维向量组$\alpha_1,\dots,\alpha_s$，新向量组仍线性相关。 注意两个性质的方向不能颠倒，这是很多考生容易出错的地方。
4. 同型矩阵的秩与等价关系 若矩阵$A$和$B$是同型矩阵，则$A$与$B$等价的充要条件是$r(A)=r(B)$，这里的矩阵等价指的是$A$可以通过初等变换得到$B$。需要注意：矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念，向量组等价指的是两个向量组可以互相线性表出，此时两个向量组的秩一定相等，但秩相等的同维向量组不一定等价。

一维随机变量模块复盘#

一维随机变量是概率论的入门核心，本次梳理的易错难点包括：

1. 分布函数$F(x)=P\{X\leq x\}$的定义，其具有右连续性，即$\lim_{t\to x^+}F(t)=F(x)$，在分段点处的取值需要严格按照定义计算；
2. 离散型随机变量的分布律与分布函数的转换，需要注意分布函数是分段阶梯函数，在随机变量的取值点处有跳跃；
3. 连续型随机变量的概率密度与分布函数的转换，连续型随机变量在任意单点处的概率为0，因此$P\{a<X<b\}=P\{a\leq X<b\}=P\{a<X\leq b\}=P\{a\leq X\leq b\}$，这一细节经常在计算概率时被忽略。