常规求法#

对于n阶矩阵A，特征值λ满足特征方程$|\lambda E - A|=0$，求解得到所有特征值后，代入齐次线性方程组$(\lambda E - A)\boldsymbol{x}=0$，求得基础解系即为对应λ的线性无关特征向量，所有解的线性组合（非零）即为λ对应的全部特征向量。

逆向求矩阵A#

若已知A的部分特征值$\lambda_1,\lambda_2$与对应特征向量$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$，且A可对角化：

• 利用矩阵的迹$\text{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$，可求得第三个特征值$\lambda_3$；
• 若A为实对称矩阵，则$\lambda_3$对应的特征向量$\boldsymbol{\alpha}_3$与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$正交，可通过正交性求解$\boldsymbol{\alpha}_3$；
• 构造可逆矩阵$Q=[\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3]$，对角矩阵$\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$，则$A=Q\Lambda Q^{-1}$，若特征向量正交单位化，则Q为正交矩阵，$Q^{-1}=Q^T$，计算更简便。

伴随矩阵关联考点#

伴随矩阵A满足$A^*A=AA^*=|A|E$，若λ是A的非零特征值，对应的特征向量为$\boldsymbol{\alpha}$，则$A^*\boldsymbol{\alpha}=|A|A^{-1}\boldsymbol{\alpha}=\frac{|A|}{\lambda} \cdot \boldsymbol{\alpha}$，即A的特征值为$\frac{|A|}{\lambda}$，对应特征向量仍为$\boldsymbol{\alpha}$，这一转换是结合A*考点解题的核心公式。

最大、最小分布#

设X,Y为两个随机变量，联合分布函数为$F(x,y)$：

• 最大分布：$F_{\text{max}}(z) = P\{\text{max}(X,Y) \leq z\} = P\{X \leq z, Y \leq z\}$，若X,Y独立，则$F_{\text{max}}(z)=F_X(z)F_Y(z)$；
• 最小分布：$F_{\text{min}}(z) = P\{\text{min}(X,Y) \leq z\} = 1 - P\{X>z, Y>z\}$，若X,Y独立，则$F_{\text{min}}(z)=1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$。 需注意非独立场景下不能直接套用独立简化公式，需通过联合分布直接计算概率。

离散+连续混合函数分布#

设X为离散型随机变量，取值为$\{x_k\}$，概率为$P(X=x_k)=p_k$，Y为连续型随机变量，概率密度为$f_Y(y)$，且X,Y独立，则对于$Z=g(X,Y)$，其分布函数可通过全概率公式拆分： $F_Z(z) = P\{g(X,Y) \leq z\} = \sum_{k} P(X=x_k) \cdot P\{g(x_k,Y) \leq z | X=x_k\}$ 再根据每个$x_k$对应的$g(x_k,Y)$的形式，结合$f_Y(y)$计算对应的积分概率即可。

向量叉乘#

设向量$\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)$，$\boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z)$，则叉乘结果为： $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)$ 其几何意义为结果向量垂直于$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$所在的平面，模长$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，$\theta$为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，可用于求解平面的法向量。

点到平面距离公式#

设平面的一般式方程为$Ax + By + Cz + D = 0$，空间内一点$P(x_0,y_0,z_0)$，则点P到该平面的距离为： $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ 需注意平面方程需整理为标准一般式，常数项D的符号不影响绝对值计算结果。